定比分点 \(Q\) 的坐标可以通过两个向量 \(\overrightarrow{PA}\) 和 \(\overrightarrow{PB}\) 表示：
\[ Q = (1-k)P + kAB \]
\(k\) 是一个非零实数（称作比例系数），\(P\) 是已知点，\(A\) 和 \(B\) 分别是直线上的两点，\(\overrightarrow{AB}\) 是从点 \(A\) 到点 \(B\) 的向量方向。
定比分点的坐标表达式如下：
在二维空间中，如果点 \(P(x_1, y_1)\)，直线上的两点 \(A(x_2, y_2)\) 和 \(B(x_3, y_3)\)，则定比分点 \(Q(x, y)\) 可以用以下公式计算：
\[ x = \frac{kx_2 - x_1}{k-1} \]
\[ y = \frac{ky_2 - y_1}{k-1} \]
特殊情形包括：
1、当 \(k=0\) 时，点 \(Q\) 在直线 \(AB\) 上，但不等于点 \(A\) 或 \(B\)。
2、当 \(k=1\) 时，点 \(Q\) 等于点 \(P\)，因为没有对点进行加权平均处理。
3、当 \(k<0\) 时，点 \(Q\) 仍在线段 \(AB\) 上，但方向相反：
\[ x = \frac{x_1 - kx_2}{1-k} \]
\[ y = \frac{y_1 - ky_2}{1-k} \]
定比分点在多个领域有广泛的应用，
1、计算机图形学：用于计算光线的反射路径和折射路径。
2、物理学：分析电磁场的分布情况。
3、工程设计：确定结构构件的位置和应力分布等。
通过学习定比分点的知识，我们可以更深入地理解空间中的几何关系，并为后续的学习和研究奠定坚实的基础，本文详细探讨了定比分点的原理、应用实例及相关示例，旨在帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
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